Родился 14 августа 1922 года в cеле Нижний Дженгутай Темир-Хан-Шуринского округа Дагестанской АССР в крестьянской семье. Член ВКП(б)/КПСС с апреля 1944 года. Окончил 7 классов. Работал учителем. В 1941 году окончил юридическую школу.

В Военно-морском флоте ВС СССР с 1941 года. В 1942 году окончил военно-морское авиационное училище. На фронте с сентября 1943 года. Боевое крещение принял на Черноморском флоте, под Новороссийском. Командир 2-й авиационной эскадрильи 47-го штурмового авиационного полка (11-я штурмовая авиационная дивизия, ВВС Краснознамённого Балтийского флота) капитан Юсуп Акаев к июлю 1944 года совершил сто четыре боевых вылета, уничтожил восемнадцать различных кораблей, три паровоза, одиннадцать танков и много другой боевой техники противника. 8 ноября 1943 года был сбит над Керченским проливом. Экипаж Ил-2 был спасен катером ВМФ.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм капитану Акаеву Юсупу Абдулабековичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4332).

После войны служил на Балтике, с 1948 года майор Акаев — в отставке. Скончался 19 ноября 1949 года на 28-м году жизни на железнодорожном вокзале Ростова-на-Дону во время поездки в один из крымских санаториев.